岡山県立高校の入試問題分析(2022年一般)―数学５

2022年5月24日 2022年6月30日

学習塾ネクスト

空間図形、三平方の定理、相似

大問５では、例年図形問題が出題されます。

昨年度は、正四角錐が出題されました。

１年生で学習する「点と直線と平面の位置関係」が出題されました。

県立高校の入試で出題されるのは、ほとんど基本的な問題ですが、難関私立高校入試や高専入試などのハイレベルな問題では非常に重要な考え方です。

その多くは空間図形の中で考え方を使用する、というものです。

三平方の定理を利用して線分の長さを求める問題や、正四角錐の体積を求める問題が出題されました。

どちらも基本レベルの問題で、定期テストで出題されるような問題です。

このような基本問題では、確実に得点できるようにしておきたいところです。

また、三平方の定理の証明は書けなくても構いませんが、上位者は「合同と面積を利用する」「相似を利用する」「面積を利用する」、３つの証明のパターンを確認しておくといいでしょう。

高校数学の「三角比」、そして「三角関数」につながる重要な分野ですので、しっかり理解しておきましょう。

三角形の相似の証明問題が出題されました。

三角形の相似条件は合同条件と同じで３つあります。

確実に覚えておきましょう。

また、「平行・相似・比」の問題は苦手意識をもつ受験生が多い分野です。

そのような分野は、まずは典型的な問題を何度も解きながら、勘所をつかむのが重要です。

夏休みや冬休みのような、まとまって時間が取れるような時に、100問単位で問題演習に取り組んでみてください。

正四角錐の２つの頂点の最短経路を求める問題が出題されました。

おなじみの問題です。

ここでは、三角形の相似に注目して相似比を求め、対応する辺の長さを求める、という基本的な解法です。

ただ、相似比を丁寧に求めず、「なんとなくこの２つの三角形と合同だろう」という思い込みで答えを出してしまった受験生も多いのではないかと思います。

数学の問題では、「それまでの小問で求めたものや考え方を使った解く」という問題が一般的です。

特に、図形問題の最後の問題のため、すぐに答えを出すことは難しく、それまでに求めた線分の長さや相似比などを利用しなければ解くことができません。

小問のそれまでの流れを意識し、考え方を利用して問題を解くということを覚えておきましょう。

「２点間の距離」というのは「平面上の距離」と「空間内の距離」の２つがあります。

「平面上の距離」は、この問題のように展開図上の２点間の距離を考えます。

三角錐の展開図を使った問題は、いろいろなところで目にすると思います。

一方で、「空間内の距離」は、２点ABを結ぶ線分ABの長さとなります。

これは、直方体の問題でよく出てくるものなので、一度は目にするかもしれません(私はいつも生徒にティッシュの箱を使って説明します)。

今回の大問では、展開図が与えられているので迷うことはありませんが、どちらか迷うような問題もありえますので、特に難関校を目指す受験生は注意しておきましょう。